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连续函数的平均正则性证明如下。

简单说：连续函数的局部 “稳定”（一致连续 ），让积分平均在区域缩小时 “逼近” 点态值，这是 “积分平均收敛到函数值” 的本质。

关于

的推导：

这一步的核心是将点态值f(x)转化为 “与积分同区域、同测度的积分形式”，从而将 “函数值的差” 转化为 “积分的差”，为后续利用连续函数的一致连续性估计积分做准备。